Задание 2. Вычислите \(2\log_{\frac13}6-\frac12\log_{\frac13}400+3\log_{\frac13}\sqrt[3]{45}\).

Используем свойства логарифмов:

\[2\log_{\frac13}6=\log_{\frac13}6^2,\qquad \frac12\log_{\frac13}400=\log_{\frac13}\sqrt{400},\qquad 3\log_{\frac13}\sqrt[3]{45}=\log_{\frac13}(\sqrt[3]{45})^3.\]

Тогда:

\[\begin{aligned}\log_{\frac13}36-\log_{\frac13}20+\log_{\frac13}45&=\log_{\frac13}\frac{36\cdot45}{20}\\&=\log_{\frac13}81.\end{aligned}\]

Поскольку \(81=3^4=\left(\frac13\right)^{-4}\), то:

\[\log_{\frac13}81=-4.\]

Ответ: \(-4\).