Задание №1. В параллелограмме сторона равна 8, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.

Пусть стороны параллелограмма имеют длины 8 и \(b\), а диагонали — 20 и 24.

1. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон: \(20^2+24^2=2(8^2+b^2)\). Поэтому \(400+576=2(64+b^2)\), откуда \(b^2=424\).
2. Диагонали соответствуют векторам \(\vec u+\vec v\) и \(\vec u-\vec v\), поэтому их скалярное произведение равно \(|\vec u|^2-|\vec v|^2=64-424=-360\). Это противоречит данным длин диагоналей: модуль скалярного произведения не может превышать произведение их длин, но здесь вычисление через стороны даёт 360, тогда как из длин диагоналей оно должно быть не более \(20\cdot24=480\). Однако разность квадратов диагоналей должна быть \(4\vec u\cdot\vec v\), а не их скалярное произведение.
3. По длинам диагоналей и закону параллелограмма: \(d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)\), следовательно, \(b^2=424\). При этом скалярное произведение диагоналей равно \(a^2-b^2=-360\). Но скалярное произведение диагоналей также по формуле равно \((d_1^2-d_2^2)/2=(400-576)/2=-88\). Эти значения не совпадают.

Данные условия несовместимы: для стороны 8 и диагоналей 20 и 24 закон параллелограмма требует \(20^2+24^2=2(8^2+b^2)\), но найденное отношение диагоналей к стороне не даёт непротиворечивого параллелограмма. Уточните условие.