Задание №1. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°. Высота, проведённая к основанию, равна 3√3. Найдите длину одной из оставшихся высот.

Угол 120° — вершины между равными сторонами, поскольку два равных угла треугольника не могут быть тупыми. Высота к основанию в равнобедренном треугольнике делит его пополам и угол 120° на два угла по 60°.

Рассмотрим один из полученных прямоугольных треугольников. Если высота к основанию равна \(3\sqrt{3}\), то равная сторона равна \(2\cdot 3\sqrt{3}/\sqrt{3}=6\). Основание исходного треугольника равно \(2\cdot 3\sqrt{3}\cdot\tan 30^\circ=6\).

Площадь треугольника: \(S=\frac12\cdot 6\cdot3\sqrt{3}=9\sqrt{3}\). Высота к одной из равных сторон длины 6 равна \(h=\frac{2S}{6}=3\sqrt{3}\).

Ответ: \(3\sqrt{3}\).