Задание 1. В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC соответственно. Отрезок MN — средняя линия. Медиана BK пересекает MN в точке P. Докажи, что P — середина MN, и найди MP, если MN = 14 см.

Так как BK — медиана, точка K — середина AC. Рассмотрим треугольники ABK и CBK.

В треугольнике ABK точки M и P — середины AB и BK, поэтому по теореме о средней линии MP = AK/2. В треугольнике CBK точки N и P — середины BC и BK, поэтому PN = CK/2.

Поскольку K — середина AC, AK = CK. Следовательно, MP = PN, значит, P — середина MN.

Тогда MP = MN/2 = 14/2 = 7 см.

Ответ: P — середина MN; MP = 7 см.