Задание 10.1. а) (ОБЗ) Решите уравнение 2sin²x+cos(-x)−1=0; б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-2; -3π/2].

Решение задания 10.1:

а) Решение уравнения:

Запишем уравнение: $$2\[sin^2x + cos(-x) - 1 = 0\)$$.

Используем свойства четности косинуса: $$cos(-x) = cos(x)$$.

Уравнение принимает вид: $$2\[sin^2x + cos(x) - 1 = 0\)$$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $$sin^2x = 1 - cos^2x$$. Подставим его в уравнение:

$$2(1 - cos^2x) + cos(x) - 1 = 0$$

$$2 - 2cos^2x + cos(x) - 1 = 0$$

$$-2cos^2x + cos(x) + 1 = 0$$

Умножим на -1:

$$2cos^2x - cos(x) - 1 = 0$$

Сделаем замену переменной: пусть $$t = cos(x)$$. Получим квадратное уравнение:

$$2t^2 - t - 1 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9$$.

Найдем корни $$t$$:

$$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

$$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Вернемся к замене:

1) $$cos(x) = 1$$

$$x = 2\[pi\cdot n$$, где $$n$$ - целое число.

2) $$cos(x) = -\frac{1}{2}$$

$$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi\cdot k$$, где $$k$$ - целое число.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-2; -3\pi/2]$$.

Приближенное значение отрезка: $$-2$$ ≈ $$-0.637\pi$$ и $$-3\pi/2$$ ≈ $$-1.5\pi$$.

Итак, отрезок примерно $$[-0.637\pi; -1.5\pi]$$.

Рассмотрим первую серию корней: $$x = 2\pi\cdot n$$.

При $$n = 0$$, $$x = 0$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = -1$$, $$x = -2\pi$$ (не принадлежит отрезку).

Рассмотрим вторую серию корней: $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi\cdot k$$ и $$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi\cdot k$$.

Случай $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi\cdot k$$:

При $$k = 0$$, $$x = \frac{2\pi}{3}$$ (не принадлежит отрезку).

При $$k = -1$$, $$x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$$.

Проверим, принадлежит ли $$-4\pi/3$$ отрезку $$[-2; -3\pi/2]$$.

$$-4\pi/3 \approx -4 \cdot 3.14159 / 3 \approx -4.18879 / 3 \approx -1.396$$

$$-3\pi/2 \approx -3 \cdot 3.14159 / 2 \approx -4.712385$$

$$-2$$

Значит, $$-4\pi/3 \approx -1.396$$. Отрезок $$[-2; -1.5\pi] \approx [-2; -4.71]$$.

$$-4\pi/3$$ лежит в пределах отрезка.

Случай $$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi\cdot k$$:

При $$k = 0$$, $$x = -\frac{2\pi}{3}$$.

$$-2\pi/3 \approx -2 \cdot 3.14159 / 3 \approx -2.094$$

$$-2\pi/3$$ не принадлежит отрезку $$[-2; -3\pi/2]$$.

При $$k = -1$$, $$x = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{8\pi}{3}$$.

$$-8\pi/3 \approx -8 \cdot 3.14159 / 3 \approx -8.377$$. Это значение не принадлежит отрезку.

Ответ: а) $$x = 2\pi n$$, $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$$, где $$n, k$$ - целые числа. б) $$-4\pi/3$$.