Задание 11.3. а) Решите уравнение 3cos2x-5sinx+1=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 5π/2].

Решение задания 11.3:

а) Решение уравнения:

Дано уравнение: $$3\[cos(2x) - 5\[sin(x) + 1 = 0\)$$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $$cos(2x) = 1 - 2\[sin^2x\)$$. Подставим в уравнение:

$$3(1 - 2\[sin^2x\) - 5\[sin(x) + 1 = 0$$

$$3 - 6\[sin^2x - 5\[sin(x) + 1 = 0$$

$$-6\[sin^2x - 5\[sin(x) + 4 = 0$$

Умножим на -1:

$$6\[sin^2x + 5\[sin(x) - 4 = 0$$

Сделаем замену: пусть $$t = sin(x)$$. Получим квадратное уравнение:

$$6t^2 + 5t - 4 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = 5^2 - 4(6)(-4) = 25 + 96 = 121$$.

Найдем корни $$t$$:

$$t_1 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 - 11}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$$

Вернемся к замене:

1) $$sin(x) = 1/2$$

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ - целое число.

2) $$sin(x) = -4/3$$. Это значение меньше -1, поэтому решений нет.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[\[pi; 5\pi/2]$$.

Отрезок $$[\[pi; 5\pi/2]$$ соответствует примерно $$[3.14; 7.85]$$.

Рассмотрим первую серию корней: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$.

При $$n = 0$$, $$x = \frac{\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = 1$$, $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$.

Сравним $$\frac{13\pi}{6}$$ с $$\pi$$ и $$5\pi/2$$. $$13/6 \approx 2.17$$. $$1$$. $$5/2 = 2.5$$. Значение $$13\pi/6$$ не принадлежит отрезку.

При $$n = 2$$, $$x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

Рассмотрим вторую серию корней: $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$.

При $$n = 0$$, $$x = \frac{5\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = 1$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$$.

Сравним $$\frac{17\pi}{6}$$ с $$\pi$$ и $$5\pi/2$$. $$17/6 \approx 2.83$$. $$1$$. $$5/2 = 2.5$$. Значение $$17\pi/6$$ не принадлежит отрезку.

При $$n = 2$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

Ответ: а) $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ - целое число. б) Нет корней на данном отрезке.