Задание 10.2. а) (ОБЗ) Решите уравнение 2cos²x+3sin(-x)-3=0; б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].

Решение задания 10.2:

а) Решение уравнения:

Дано уравнение: $$2\[cos^2x + 3sin(-x) - 3 = 0\)$$.

Используем свойства четности синуса: $$sin(-x) = -sin(x)$$.

Уравнение принимает вид: $$2\[cos^2x - 3sin(x) - 3 = 0\)$$.

Используем основное тригонометрическое тождество: $$cos^2x = 1 - sin^2x$$. Подставим его в уравнение:

$$2(1 - sin^2x) - 3sin(x) - 3 = 0$$

$$2 - 2sin^2x - 3sin(x) - 3 = 0$$

$$-2sin^2x - 3sin(x) - 1 = 0$$

Умножим на -1:

$$2sin^2x + 3sin(x) + 1 = 0$$

Сделаем замену переменной: пусть $$t = sin(x)$$. Получим квадратное уравнение:

$$2t^2 + 3t + 1 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = 3^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$$.

Найдем корни $$t$$:

$$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Вернемся к замене:

1) $$sin(x) = -1$$

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi\cdot n$$, где $$n$$ - целое число.

2) $$sin(x) = -\frac{1}{2}$$

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi\cdot k$$ или $$x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi\cdot k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi\cdot k$$, где $$k$$ - целое число.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[2\pi; 7\pi/2]$$.

Отрезок $$[2\pi; 7\pi/2]$$ соответствует $$[2\pi; 3.5\pi]$$.

Рассмотрим первую серию корней: $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi\cdot n$$.

При $$n = 1$$, $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{3\pi}{2}$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = 2$$, $$x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}$$.

Значение $$7\pi/2$$ принадлежит отрезку.

Рассмотрим вторую серию корней: $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi\cdot k$$.

При $$k = 1$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

При $$k = 2$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$.

Сравним $$\frac{23\pi}{6}$$ с $$2\pi$$ и $$7\pi/2$$. $$23/6 \approx 3.83$$. $$7/2 = 3.5$$. Значение $$23\pi/6$$ не принадлежит отрезку.

Рассмотрим третью серию корней: $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi\cdot k$$.

При $$k = 0$$, $$x = \frac{7\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

При $$k = 1$$, $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6}$$.

Сравним $$\frac{19\pi}{6}$$ с $$2\pi$$ и $$7\pi/2$$. $$19/6 \approx 3.17$$. $$7/2 = 3.5$$. Значение $$19\pi/6$$ принадлежит отрезку.

Ответ: а) $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$$, $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$$, где $$n, k$$ - целые числа. б) $$7\pi/2$$, $$19\pi/6$$.