Задание 10. Двум туристам и мотоциклисту нужно добраться из посёлка А в посёлок Б, расстояние между которыми 20 км. Туристы идут со скоростью 4 км/ч, а мотоциклист передвигается только на мотоцикле со скоростью 20 км/ч и может брать одного пассажира. Все трое начинают путь одновременно. Садиться на мотоцикл и сходить с него каждый из туристов может в любом месте. Временем посадки, высадки и разворота можно пренебречь. За какое наименьшее время все трое могут оказаться в посёлке Б?

Пусть мотоциклист сначала едет с одним туристом в сторону Б, а второго оставляет идти пешком. Через t часов он высаживает первого и возвращается навстречу второму. Если место высадки находится на расстоянии x от А, то t = x/20. Время обратной поездки до встречи обозначим s. За это время турист проходит 4(t + s) км, а мотоциклист возвращается от точки x со скоростью 20 км/ч, поэтому координата встречи удовлетворяет x − 20s = 4(t + s). Отсюда s = x/30.

В точке встречи мотоциклист подбирает второго туриста и везёт его в Б. Время, когда второй турист прибудет в Б, равно t + s + (20 − 4(t + s))/20. Подставляя t = x/20 и s = x/30, получаем 1 + x/150 часа. Оно минимально при x = 0: мотоциклист сразу везёт первого туриста в Б, возвращается к А, встречает второго, который всё это время шёл пешком, и отвозит его в Б.

В этой стратегии мотоциклист тратит 1 час на путь до Б и 1 час на возвращение в А. Второй турист за 2 часа проходит 8 км. Затем мотоциклист везёт его оставшиеся 12 км за 12/20 = 0,6 часа. Итого 2,6 часа. Если первый турист высажен дальше от А, расчёт выше показывает, что второй прибывает позже; первый же может прибыть не раньше чем через 1 час. Следовательно, раньше 2,6 часа все трое прибыть не могут.

Ответ: 2,6 часа, то есть 2 часа 36 минут.