Задание 10. На стороне BC треугольника ABC отмечена точка N так, что BN : NC = 3 : 8. Найдите, в каком отношении медиана BM делит отрезок AN.

Пусть P — точка пересечения BM и AN. Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому точка на BM делит отрезок AC между вершинами A и C в равных долях.

На стороне BC отношение BN : NC = 3 : 8, поэтому BN : BC = 3 : 11. Следовательно, в аффинной записи точка N имеет доли B и C соответственно 8/11 и 3/11.

Точка P лежит на AN. Если P соответствует доле t пути от A к N, то её доля вершины C равна 3t/11, а доля вершины A — 1 − t. Поскольку P также лежит на BM, доли A и C равны. Поэтому 1 − t = 3t/11, откуда t = 11/14.

Значит, AP : PN = t : (1 − t) = 11 : 3.

Ответ: 11 : 3.