Задание 10. Решите уравнение: 16^x - 60 · 4^x - 256 = 0.

Решение:

Заметим, что \( 16^x = (4^2)^x = (4^x)^2 \).

Пусть \( t = 4^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 60t - 256 = 0 \]

Это квадратное уравнение относительно \( t \). Найдем дискриминант:

\[ D = (-60)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-256) \]\[ D = 3600 + 1024 \]\[ D = 4624 \]

Найдем \( \sqrt{D} \):

\[ \sqrt{4624} = 68 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{60 - 68}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 \]\[ t_2 = \frac{60 + 68}{2 \cdot 1} = \frac{128}{2} = 64 \]

Теперь вернемся к замене \( t = 4^x \).

1. \( 4^x = -4 \). Это уравнение не имеет решений, так как степень числа с положительным основанием всегда положительна.

2. \( 4^x = 64 \). Так как \( 64 = 4^3 \), то:

\[ 4^x = 4^3 \]\[ x = 3 \]

Ответ: 3