Задание № 11. Определите основание системы счисления для выражения \(10_x + 101_x = 7_{10}\).

Обозначим основание через \(x\). Тогда \(10_x = x\), а \(101_x = x^2 + 1\).

Составим уравнение: \(x + (x^2 + 1) = 7\), то есть \(x^2 + x - 6 = 0\).

Разложим на множители: \((x - 2)(x + 3) = 0\). Получаем \(x = 2\) или \(x = -3\). Основание системы счисления — целое число больше 1, поэтому подходит только \(x = 2\).

Проверка: \(10_2 = 2\), \(101_2 = 5\), и \(2 + 5 = 7\).

Ответ: 2.