ЗАДАНИЕ 12. Докажите неравенство: 1) $x^2+8x+20>0$; 2) $5a^2+20a>-25$; 3) $6c^2+10c+8>-3c^2+4c+6$.

Question

Вопрос: $Фото задания: ЗАДАНИЕ 12. Докажите неравенство: 1) $x^2+8x+20>0$; 2) $5a^2+20a>-25$; 3) $6c^2+10c+8>-3c^2+4c+6$.$ Фото задания

Accepted Answer

Выделим квадрат двучлена: $x^2+8x+20=(x+4)^2+4$. Квадрат неотрицателен, поэтому $(x+4)^2+4\geq4>0$.
Перенесём $-25$ в левую часть и выделим квадрат: $5a^2+20a+25=5(a^2+4a+5)=5((a+2)^2+1)$. Так как $(a+2)^2\geq0$, получаем $5((a+2)^2+1)\geq5>0$. Значит, исходное неравенство верно.
Перенесём все слагаемые в левую часть и упростим: $6c^2+10c+8-(-3c^2+4c+6)=9c^2+6c+2$.
Выделим квадрат: $9c^2+6c+2=9(c+\frac{1}{3})^2+1$. Это выражение не меньше 1, поэтому оно положительно. Следовательно, исходное неравенство верно.

ЗАДАНИЕ 12. Докажите неравенство: 1) \(x^2+8x+20>0\); 2) \(5a^2+20a>-25\); 3) \(6c^2+10c+8>-3c^2+4c+6\).