Задание 12. В выпуклом четырёхугольнике ABCD равны углы A и B, угол D больше угла C. Докажите, что сторона AD меньше стороны BC.

Проведём диагональ \(AC\). Обозначим \(x=\angle BAC\), \(y=\angle BCA\), \(z=\angle CAD\), \(w=\angle ACD\).

Из равенства углов четырёхугольника \(A\) и \(B\) получаем:

\(x+z=180^\circ-x-y\), поэтому \(2x+y+z=180^\circ\).

Угол \(D=180^\circ-z-w\), а угол \(C=y+w\). По условию \(D>C\), значит \(180^\circ-z-w>y+w\). Подставляя \(y=180^\circ-2x-z\), получаем \(w

По теореме синусов в треугольниках \(ABC\) и \(ACD\):

\(\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{\sin x}{\sin(x+y)}=\dfrac{\sin x}{\sin(x+z)}\), поскольку \(x+y=180^\circ-(x+z)\); также \(\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{\sin w}{\sin(z+w)}\).

Сравним эти отношения:

\(\sin x\sin(z+w)-\sin w\sin(z+x)=\sin z\sin(x-w)>0\), так как \(z>0\) и \(x>w\). Следовательно, \(\dfrac{BC}{AC}>\dfrac{AD}{AC}\), откуда \(BC>AD\).

Ответ: \(AD