Задание 13. В выпуклом четырёхугольнике опустили из вершин перпендикуляры на диагонали. Докажите, что один из четырёх отрезков не длиннее половины диагонали, к которой он проведён.

Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), а угол между их прямыми равен \(\varphi\). Тогда длины перпендикуляров от вершин \(A,C\) к прямой \(BD\) равны соответственно \(AO\sin\varphi\) и \(CO\sin\varphi\). Аналогично длины перпендикуляров от \(B,D\) к прямой \(AC\) равны \(BO\sin\varphi\) и \(DO\sin\varphi\).

Предположим, что все четыре перпендикуляра длиннее половины диагонали, к которой они проведены. Тогда

\(AO\sin\varphi>\dfrac{BD}{2}\), \(CO\sin\varphi>\dfrac{BD}{2}\), \(BO\sin\varphi>\dfrac{AC}{2}\), \(DO\sin\varphi>\dfrac{AC}{2}\).

Сложив первые два неравенства и учитывая, что \(AO+CO=AC\), получаем \(AC\sin\varphi>BD\). Сложив последние два и используя \(BO+DO=BD\), получаем \(BD\sin\varphi>AC\). Перемножив эти неравенства, имеем \(\sin^2\varphi>1\), что невозможно, поскольку \(\sin\varphi\leq1\).

Значит, предположение неверно: хотя бы один из четырёх перпендикуляров не длиннее половины диагонали, к которой он проведён.