Задание 128: Докажите, заполнив пропуски, свойство прямоугольного треугольника: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle ACB = 90^\circ\), \(\angle ABC = 30^\circ\). Доказать: \(AC = \frac{1}{2}AB\). Доказательство: 1) Отметим на луче AC точку D так, что C - середина AD. Соединим точки B и D (дополнительное построение). 2) \(\angle A = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\) (так как сумма углов треугольника равна \(180^\circ\) и \(\triangle ABC\) равен \(\triangle DBC\) по 2 катетам). \(\triangle ABC = \triangle DBC\) (по 2 катетам), \(\angle CBD = \angle CBA\) (из п. 2). 3) \(\angle CBD + \angle CBA = 60^\circ\) (так как \(\angle ABC = 30^\circ\) и \(\angle CBD = \angle CBA\) из п. 2, то \(2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\)). 4) \(\angle D = \angle A = 60^\circ\) (из п. 2 и 3). \(AB = AD = BD\) (из п. 4). \(AC = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB\). Теорема доказана.