Задание 15.2) В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла А, если угол С = 51° и BM = AM = MC.

Решение:

По условию \( BM = AM = MC \). Это означает, что точка \( M \) является центром описанной окружности для треугольника \( ABC \), а \( AC \) — диаметр этой окружности.

Треугольник \( BMC \) является равнобедренным, так как \( BM = MC \). Следовательно, \( \angle MBC = \angle MCB = \angle C = 51^{\circ} \).

В треугольнике \( BMC \) найдем \( \angle BMC \):

\[ \angle BMC = 180^{\circ} - (\angle MBC + \angle MCB) = 180^{\circ} - (51^{\circ} + 51^{\circ}) = 180^{\circ} - 102^{\circ} = 78^{\circ} \]

Угол \( AMB \) является смежным с углом \( BMC \), поэтому:

\[ \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ} \]

Треугольник \( AMB \) является равнобедренным, так как \( BM = AM \). Следовательно, углы при основании \( AB \) равны:

\[ \angle MAB = \angle MBA = \frac{180^{\circ} - \angle AMB}{2} = \frac{180^{\circ} - 102^{\circ}}{2} = \frac{78^{\circ}}{2} = 39^{\circ} \]

Угол \( A \) треугольника \( ABC \) равен \( \angle MAB \).

Ответ: 39°.