Задание 16.3] Диагональ АС ромба ABCD равна 16, a tg BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть \( O \) — точка пересечения диагоналей \( AC \) и \( BD \). Тогда \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( BOC \). В нем \( OC = 8 \). Нам дано \( \text{tg } \angle BCA = 0.75 = \frac{3}{4} \).

В треугольнике \( BOC \):

\[ \text{tg } \angle BCA = \frac{BO}{OC} \]

\[ \frac{3}{4} = \frac{BO}{8} \]

\[ BO = 8 \cdot \frac{3}{4} = 6 \]

Диагональ \( BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 6 = 12 \).

Радиус \( r \) вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба. Также радиус \( r \) равен радиусу окружности, вписанной в прямоугольный треугольник \( BOC \) (где \( BO \) и \( OC \) — катеты, а \( BC \) — гипотенуза).

Найдем гипотенузу \( BC \) по теореме Пифагора:

\[ BC^2 = BO^2 + OC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]

\[ BC = \sqrt{100} = 10 \]

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник:

\[ r = \frac{a+b-c}{2} \]

Где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.

\[ r = \frac{BO + OC - BC}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Ответ: 2.