Задание 16. Было опрошено 60 человек, проживающих на улице Цветкова: 40 из них поддержали установку велодорожек, 35 – строительство фонтана, причём 20 человек поддержали оба проекта. Какова вероятность, что случайно выбранный человек поддержал хотя бы один проект?

Решение:

Всего опрошено \( N = 60 \) человек.

Пусть событие A — человек поддержал установку велодорожек. Тогда \( n(A) = 40 \).

Пусть событие B — человек поддержал строительство фонтана. Тогда \( n(B) = 35 \).

Человек, поддержавший оба проекта, относится к обоим событиям. Тогда \( n(A \cap B) = 20 \).

Нас интересует вероятность того, что случайно выбранный человек поддержал хотя бы один проект. Это означает, что он поддержал велодорожки, или фонтан, или оба проекта. Это событие \( A \cup B \).

Число людей, поддержавших хотя бы один проект, находится по формуле:

\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) \]

\[ n(A \cup B) = 40 + 35 - 20 = 55 \]

Вероятность этого события равна:

\[ P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{N} = \frac{55}{60} \]

Сократим дробь:

\[ \frac{55}{60} = \frac{11}{12} \]

Ответ: \( \frac{11}{12} \)