Задание 2.3 (Задача на смеси – брак в партии) На склад поступила партия товара объёмом 800 единиц. Известно, что 5% от общего количества – бракованные. Для отгрузки отбирают случайную выборку в 100 единиц. 1. Сколько в среднем бракованных единиц окажется в выборке? 2. Если фактически в выборке обнаружили 8 бракованных единиц, то какой процент брака в выборке? Отличается ли он от общего процента брака в партии? 3. (Дополнительно) Какое максимальное количество бракованных единиц может содержать выборка, если известно, что в оставшейся части партии (после изъятия выборки) доля брака не превышает 6%? (Подсказка: составить неравенство на количество бракованных в выборке.)

Решение:

1. Среднее количество бракованных единиц в выборке:

Общее количество товара: 800 единиц.

Процент брака в партии: 5%.

Количество бракованных единиц в партии: \( 800 \times 0.05 = 40 \) единиц.

Размер выборки: 100 единиц.

Пропорциональное ожидаемое количество брака в выборке: \( \frac{40}{800} \times 100 = 0.05 \times 100 = 5 \) единиц.

Ответ: В среднем в выборке окажется 5 бракованных единиц.

2. Процент брака в выборке и его сравнение с общим процентом брака в партии:

Обнаружено бракованных единиц в выборке: 8.

Размер выборки: 100 единиц.

Процент брака в выборке: \( \frac{8}{100} \times 100\% = 8\% \).

Общий процент брака в партии: 5%.

Процент брака в выборке (8%) отличается от общего процента брака в партии (5%).

Ответ: Процент брака в выборке составляет 8%. Он отличается от общего процента брака в партии.

3. Максимальное количество бракованных единиц в выборке:

Общее количество товара: 800 единиц.

Количество бракованных единиц в партии: 40 единиц.

Размер выборки: 100 единиц.

Пусть \( x \) – количество бракованных единиц в выборке.

Количество небракованных единиц в выборке: \( 100 - x \).

Количество оставшихся единиц в партии: \( 800 - 100 = 700 \) единиц.

Количество бракованных единиц в оставшейся части партии: \( 40 - x \).

Доля брака в оставшейся части партии не превышает 6%:

\( \frac{40 - x}{700} \le 0.06 \)

\( 40 - x \le 700 \times 0.06 \)

\( 40 - x \le 42 \)

\( -x \le 42 - 40 \)

\( -x \le 2 \)

\( x \ge -2 \)

Также количество бракованных единиц в выборке \( x \) не может быть больше общего количества бракованных единиц в партии (40) и не может быть отрицательным. Так как в выборке 100 единиц, то \( x \le 100 \).

С учётом того, что \( x \) – это количество бракованных единиц, \( x \) должно быть неотрицательным целым числом.

Мы также знаем, что из 700 оставшихся единиц, доля брака не должна превышать 6%. Это значит, что максимальное число брака в оставшейся части партии равно \( 700 \times 0.06 = 42 \).

Если в партии всего 40 бракованных единиц, то невозможно, чтобы в оставшихся 700 единицах было 42 бракованные единицы. Здесь есть противоречие в условии. Вероятно, имелось в виду, что доля брака в отобранной выборке не должна влиять на общий процент брака или что-то другое.

Давайте переформулируем задачу: Какое максимальное количество бракованных единиц может быть в выборке, если известно, что в оставшейся части партии (700 единиц) доля брака НЕ ПРЕВЫШАЕТ 6% (то есть, не более \( 700 \times 0.06 = 42 \) бракованных единиц) И при этом общее количество бракованных в партии равно 40.

Если в партии всего 40 бракованных единиц, и мы отобрали \( x \) бракованных в выборку, то в оставшейся части партии \( 40 - x \) бракованных единиц. По условию \( 40 - x \le 42 \). Это неравенство верно при \( x \ge -2 \).

Но количество бракованных в выборке \( x \) также не может превышать общее количество брака в партии, то есть \( x \le 40 \). И \( x \) не может быть больше размера выборки, то есть \( x \le 100 \).

Исходя из условия, что в оставшейся части партии (700 единиц) доля брака не превышает 6%, это означает, что в этих 700 единицах максимум \( 700 \times 0.06 = 42 \) бракованные единицы. Поскольку в партии всего 40 бракованных единиц, это условие всегда выполняется, если \( x \) бракованных единиц взято в выборку.

Чтобы найти максимальное количество бракованных единиц в выборке, нам нужно учесть, что в партии всего 40 бракованных единиц. Следовательно, выборка может содержать максимум 40 бракованных единиц.

Ответ: Максимальное количество бракованных единиц в выборке – 40.