Задание 2: Дано: AB = AD, CB = CD. Доказать: а) луч AC — биссектриса угла BAD; б) BO = OD; в) AC ⊥ BD.

Дано: AB = AD, CB = CD. a) Доказать, что луч AC — биссектриса угла BAD. Рассмотрим треугольники ABC и ADC: AB=AD, CB=CD, AC - общая сторона. Значит треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам. Из равенства треугольников следует равенство углов BAC и DAC, таким образом луч АС является биссектрисой угла BAD. б) Доказать, что BO=OD. Рассмотрим треугольники ABO и ADO: AB=AD (дано), угол BAO = DAO (т.к. AC биссектриса), AO- общая сторона. Следовательно, треугольники ABO и ADO равны по двум сторонам и углу между ними, из этого следует равенство BO и DO. в) Доказать, что AC ⊥ BD. Из равенства треугольников ABO и ADO (предыдущий пункт) следует равенство углов AOB и AOD. Поскольку эти углы являются смежными и равны, то каждый из них равен 90 градусов. Следовательно AC перпендикулярна BD.