Задание 2. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.

Пусть в трапеции ABCD основания AB и CD параллельны, а диагонали AC и BD равны. Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на прямую, содержащую большее основание. Обозначим высоту трапеции через h, а горизонтальные проекции боковых сторон — через x и y.

1. Горизонтальные проекции диагоналей равны соответственно x + CD и y + CD, если рассматривать их в направлении от нижнего основания к верхнему. Из равенства диагоналей и одинаковой высоты следует равенство их горизонтальных проекций.
2. В координатах можно положить A(0, 0), B(b, 0), D(x, h), C(x + c, h), где b = AB и c = CD. Тогда AC² = (x + c)² + h², а BD² = (b − x)² + h².
3. Так как AC = BD, получаем (x + c)² = (b − x)². Поскольку основания имеют положительные длины, отсюда x + c = b − x, то есть 2x = b − c.
4. Боковые стороны удовлетворяют равенствам AD² = x² + h² и BC² = (x + c − b)² + h². Из 2x = b − c следует x + c − b = −x, поэтому AD² = BC² и AD = BC.

Следовательно, боковые стороны трапеции равны, а значит, трапеция равнобедренная.