Задание 3*. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции, если известно, что меньшее основание равно боковой стороне.

Обозначим меньшее основание через a, большее основание — через b, высоту — через h. Изобразим равнобедренную трапецию симметрично относительно вертикальной оси. Горизонтальная проекция каждой боковой стороны равна (b − a) / 2.

1. По условию длина боковой стороны равна a, поэтому a² = ((b − a) / 2)² + h².
2. Горизонтальная проекция диагонали равна (b + a) / 2. Перпендикулярность диагонали и боковой стороны даёт равенство произведений их горизонтальных и вертикальных составляющих: h² = (b² − a²) / 4.
3. Подставим это выражение для h² в равенство из первого шага: a² = (b − a)² / 4 + (b² − a²) / 4. После упрощения получаем 2a² + ab − b² = 0, то есть (2a − b)(a + b) = 0.
4. Поскольку длины положительны, a + b ≠ 0, следовательно, b = 2a. Тогда h² = (b² − a²) / 4 = 3a² / 4.
5. Для угла при большем основании тангенс равен отношению высоты к горизонтальной проекции боковой стороны: h / ((b − a) / 2) = (√3a / 2) / (a / 2) = √3. Значит, этот угол равен 60°, а прилежащий к той же боковой стороне угол при меньшем основании равен 120°.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны.

Ответ: углы трапеции — 60°, 60°, 120° и 120°.