Задание 2. Известно, что ∠A = ∠C, AM = CK, BD ⟂ AC. Докажите, что: а) △ABM = △CBK; б) △MBD = △KBD.

Так как D лежит на AC и BD ⟂ AC, углы ADB и CDB прямые. В прямоугольных треугольниках ABD и CBD равны острые углы A и C. Следовательно, эти треугольники подобны. Они имеют общую соответствующую сторону BD, поэтому коэффициент подобия равен 1: треугольники ABD и CBD равны. Отсюда AB = CB и AD = DC.

1. Из AD = DC и AM = CK следует MD = DK: из равных отрезков AD и DC вычитаются соответственно равные AM и CK. Поскольку M и K лежат на AC, ∠BAM = ∠BCK (это углы A и C). Значит, △ABM = △CBK по двум сторонам и углу между ними: AB = CB, AM = CK, ∠BAM = ∠BCK.
2. Углы MDB и KDB прямые, так как MD и DK лежат на AC, а BD ⟂ AC. При этом MD = DK и BD — общая сторона. Значит, △MBD = △KBD по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: △ABM = △CBK; △MBD = △KBD.