Задание №2. На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что прямые MC и NC делят параллелограмм на три равновеликие части. Найдите MN, если BD = 7.

Пусть площадь параллелограмма равна \(S\), а \(AM=t\cdot AB\), \(AN=u\cdot AD\). Треугольник BMC занимает долю \((1-t)/2\) площади параллелограмма: его основание составляет долю \(1-t\) от AB, а высота совпадает с высотой параллелограмма. Аналогично, доля площади треугольника DNC равна \((1-u)/2\).

Каждая из трёх частей имеет площадь \(S/3\). Значит, \((1-t)/2=1/3\) и \((1-u)/2=1/3\), откуда \(t=u=1/3\).

Следовательно, \(\overrightarrow{MN}=\frac13\overrightarrow{BD}\), поэтому \(MN=\frac13 BD=\frac73\).

Ответ: \(\frac73\).