Задание 2. Найдите неизвестные элементы прямоугольника ABCD. Дано: ABCD — прямоугольник, AB = 5 см, BC = 12 см, AC = 13 см, ∠BDA = 38°. Найти: CD, AD, AO, P_ABCD, P_AOD, P_AOB, ∠CAD, ∠CAB.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

1. \(CD = AB = 5\) см.
2. \(AD = BC = 12\) см.
3. \(AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{13}{2} = 6.5\) см.
4. \(P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(5 + 12) = 34\) см.
5. Так как \(OD = AO = 6.5\) см, то \(P_{AOD} = AD + AO + OD = 12 + 6.5 + 6.5 = 25\) см.
6. Так как \(BO = AO = 6.5\) см, то \(P_{AOB} = AB + AO + BO = 5 + 6.5 + 6.5 = 18\) см.
7. В прямоугольном треугольнике \(ACD\): \(\tan \angle CAD = \dfrac{CD}{AD} = \dfrac{5}{12}\), поэтому \(\angle CAD \approx 22.6^\circ\).
8. Углы \(CAD\) и \(CAB\) дополняют друг друга до \(90^\circ\): \(\angle CAB = 90^\circ - 22.6^\circ \approx 67.4^\circ\).

Замечание: данные \(AB=5\) см, \(AD=12\) см и \(\angle BDA=38^\circ\) противоречат друг другу. По сторонам угол \(BDA\) равен \(\arctan(5/12) \approx 22.6^\circ\), а не \(38^\circ\). Поэтому углы найдены по согласованным данным прямоугольника со сторонами 5 см и 12 см.

Ответ: CD = 5 см; AD = 12 см; AO = 6.5 см; P_ABCD = 34 см; P_AOD = 25 см; P_AOB = 18 см; ∠CAD ≈ 22.6°; ∠CAB ≈ 67.4°.