Задание 2. Найдите производную функции, если: 1. y = 4x² − 2x + 3; 2. y = x + √(4 − x); 3. y = (x² − 3x)(1 − 2x); 4. y = 5x/(1 + x²); 5. y = (x² − 5x + 8)⁶; 6. y = √(x² + 1); 7. y = arc tg 5x; 8. y = sin² 6x.

Применяем правило степени и дифференцируем слагаемые: \(y'=8x-2\).

По правилу цепочки: \(y'=1-\dfrac{1}{2\sqrt{4-x}}\), область определения исходной функции: \(x\leq 4\). Производная определена при \(x<4\).

По правилу производной произведения: \(y'=(2x-3)(1-2x)-2(x^2-3x)=-6x^2+14x-3\).

По правилу производной частного: \(y'=\dfrac{5(1+x^2)-10x^2}{(1+x^2)^2}=\dfrac{5(1-x^2)}{(1+x^2)^2}\).

По правилу цепочки: \(y'=6(x^2-5x+8)^5(2x-5)\).

По правилу цепочки: \(y'=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\).

Используем \((\arctan u)'=u'/(1+u^2)\), где \(u=5x\): \(y'=\dfrac{5}{1+25x^2}\).

По правилу цепочки для квадрата синуса: \(y'=2\sin(6x)\cos(6x)\cdot 6=12\sin(6x)\cos(6x)\).