Задание 2. Ответьте на вопросы: 17. Может ли выпуклый многогранник иметь 5 вершин, 6 граней, 9 ребер? Почему?

Краткое пояснение:

Для проверки условий существования многогранника используется формула Эйлера: V - Р + Г = 2, где V — число вершин, Р — число ребер, Г — число граней.

Ответ:

Да, может. Проверим по формуле Эйлера: V - Р + Г = 2. Подставляем данные: 5 - 9 + 6 = 2. 2 = 2. Условие выполняется. Пример такого многогранника — треугольная призма, у которой 6 вершин, 5 граней и 9 ребер. Ой, ошибка. У треугольной призмы 6 вершин, 5 граней и 9 ребер. Данные задачи: 5 вершин, 6 граней, 9 ребер. Попробуем построить: Представим себе пирамиду с пятиугольным основанием. У нее 6 вершин (5 у основания + 1 вершина), 6 граней (5 боковых + 1 основание) и 10 ребер (5 у основания + 5 боковых). Это не подходит. Попробуем другой вариант. Если основанием будет четырехугольник, а сверху добавим еще одну вершину, то получим пирамиду с 5 вершинами, 5 гранями и 8 ребрами. Не подходит. Рассмотрим еще раз данные: 5 вершин, 6 граней, 9 ребер. Формула Эйлера: 5 (вершин) - 9 (ребер) + 6 (граней) = 2. Это условие выполняется. Такой многогранник существует. Это пятиугольная пирамида, у которой усекли одну вершину. Или, возможно, это усеченная треугольная пирамида, у которой верхнее основание — треугольник, а нижнее — четырехугольник. Такая фигура будет иметь 5 вершин, 6 граней и 9 ребер. Например, если взять треугольную призму и «срезать» один угол, получим такую фигуру.

Пример: Усеченная треугольная пирамида (или усеченный треугольный клин).