Задание 2. Постройте график функции $y=3-\frac{x+2}{x^2+2x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 2. Постройте график функции $y=3-\frac{x+2}{x^2+2x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет…$ Фото задания

Задание 2. Постройте график функции $y=3-\frac{x+2}{x^2+2x}$. Определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Accepted Answer

Область определения: $x\ne 0$ и $x\ne -2$, поскольку $x^2+2x=x(x+2)$. При этих ограничениях дробь сокращается:

$y=3-\frac{x+2}{x(x+2)}=3-\frac1x$.

Это график гиперболы $y=3-1/x$ с вертикальной асимптотой $x=0$ и горизонтальной асимптотой $y=3$, но с выколотой точкой при $x=-2$. Её координаты: $(-2,7/2)$.

Уравнение пересечения с прямой $y=m$ имеет вид $m=3-1/x$. При $m\ne3$ оно даёт единственное значение $x=1/(3-m)$, однако при $m=7/2$ это значение равно $-2$, то есть соответствует выколотой точке. При $m=3$ решений нет. Значит, график не может иметь с горизонтальной прямой две общие точки.

Ответ: таких значений $m$ нет.

Задание 2. Постройте график функции \(y=3-\frac{x+2}{x^2+2x}\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y=m\) имеет с графиком ровно две общие точки.

Ответ: