Задание 3. Постройте график функции \(y=\frac{5x-2}{5x^2-2x}\) и определите, при каких значениях \(k\) прямая \(y=k\) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Область определения: \(x\ne0\) и \(x\ne2/5\), так как \(5x^2-2x=x(5x-2)\). Поэтому

\(y=\frac{5x-2}{x(5x-2)}=\frac1x\), при \(x\ne0,2/5\).

График — гипербола \(y=1/x\) с выколотой точкой \((2/5,5/2)\). Для пересечения с прямой \(y=k\) уравнение \(k=1/x\) даёт \(x=1/k\), если \(k\ne0\). Полученная точка отсутствует на графике именно при \(1/k=2/5\), то есть при \(k=5/2\). При \(k=0\) решений нет.

Следовательно, ровно одно общее пересечение имеется для всех значений \(k\), кроме \(0\) и \(5/2\).

Ответ: \(k\in\mathbb{R}\setminus\{0,5/2\}\).