Задание 2. Постройте график и опишите его свойства: \(f(x)=\begin{cases}-\frac{8}{x}, & x<-2,\\-2x, & -2\le x\le2,\\-\frac{8}{x}, & x>2.\end{cases}\)

Для крайних промежутков строим ветви гиперболы \(y=-8/x\), а на \([-2,2]\) — отрезок прямой \(y=-2x\). При \(x=-2\) и \(x=2\) обе формулы дают соответственно 4 и −4; концы отрезка включены.

Область определения: \(\mathbb{R}\). Функция нечётная, поскольку для каждой части \(f(-x)=-f(x)\). На \((−\infty,−2)\) она возрастает от предела 0 до 4; на \([-2,2]\) убывает от 4 до −4; на \((2,+\infty)\) возрастает от предела −4 к 0. Наибольшее значение — 4 при \(x=-2\), наименьшее — −4 при \(x=2\). Область значений: \([-4,4]\). Нуль функции: \(x=0\). Положительна при \(x<0\), отрицательна при \(x>0\).

Ответ: график и свойства функции приведены выше.