Задание 2. Разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь (более сложный уровень): а) (a² − 9)/(a² − 6a + 9); б) (x² + 4xy + 4y²)/(x³ − 4xy²); в) (2a² − 2b²)/(4a + 4b).

а) Используем формулы разности квадратов и квадрата разности: \(a^2-9=(a-3)(a+3)\), \(a^2-6a+9=(a-3)^2\). Тогда \(\frac{a^2-9}{a^2-6a+9}=\frac{(a-3)(a+3)}{(a-3)^2}=\frac{a+3}{a-3}\).

б) Разложим числитель как квадрат суммы, а знаменатель — вынесением \(x\) и разностью квадратов: \(x^2+4xy+4y^2=(x+2y)^2\), \(x^3-4xy^2=x(x^2-4y^2)=x(x-2y)(x+2y)\). Сократим общий множитель: \(\frac{(x+2y)^2}{x(x-2y)(x+2y)}=\frac{x+2y}{x(x-2y)}\).

в) Разложим числитель и знаменатель на множители: \(2a^2-2b^2=2(a-b)(a+b)\), \(4a+4b=4(a+b)\). Сократив общие множители, получим \(\frac{2(a-b)(a+b)}{4(a+b)}=\frac{a-b}{2}\).

Ответ: а) \(\frac{a+3}{a-3}\); б) \(\frac{x+2y}{x(x-2y)}\); в) \(\frac{a-b}{2}\).