Задание 2. Решите неравенство: а) sin x < 1/2; б) ctg x ≤ −1.

а) \(\sin x<\frac12\).

Равенство \(\sin x=\frac12\) выполняется при \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) и \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\). Синус меньше \(\frac12\) на промежутке между вторым значением и следующим первым значением:

\(x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\frac{13\pi}{6}+2\pi k\right)\), где \(k\in\mathbb Z\).

б) \(\operatorname{ctg}x\leq-1\).

На каждом промежутке \((\pi k,\pi+\pi k)\) функция \(\operatorname{ctg}x\) убывает. Значение \(-1\) достигается при \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k\), а точка \(x=\pi+\pi k\) исключается из области определения.

Следовательно, \(x\in\left[\frac{3\pi}{4}+\pi k,\pi+\pi k\right)\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: а) \(x\in\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\frac{13\pi}{6}+2\pi k\right)\); б) \(x\in\left[\frac{3\pi}{4}+\pi k,\pi+\pi k\right)\), \(k\in\mathbb Z\).