Задание 3. Решите уравнение: 4sin²x − 11cos x − 1 = 0.

Используем тождество \(\sin^2x=1-\cos^2x\):

\(4(1-\cos^2x)-11\cos x-1=0\).

Раскрываем скобки:

\(4-4\cos^2x-11\cos x-1=0\),

\(4\cos^2x+11\cos x-3=0\).

Пусть \(t=\cos x\). Тогда \(4t^2+11t-3=0\).

\(D=11^2-4\cdot4\cdot(-3)=169\), поэтому

\(t=\frac{-11\pm13}{8}\).

Получаем \(t=\frac14\) или \(t=-3\). Значение \(t=-3\) невозможно, так как \(-1\leq\cos x\leq1\).

Следовательно, \(\cos x=\frac14\).

Ответ: \(x=\pm\arccos\frac14+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\).