Задание 2. Точки A и B лежат в плоскости α, а точка P не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AP и BP, параллельна плоскости α.

Обозначим через X и Y середины отрезков AP и BP соответственно.

В треугольнике APB отрезок XY соединяет середины двух сторон. По теореме о средней линии треугольника, XY ∥ AB.

Прямая AB лежит в плоскости α, а XY не лежит в α: точка X принадлежит α не может, поскольку X — середина AP, где A ∈ α, а P ∉ α. Значит, по признаку параллельности прямой и плоскости, XY ∥ α.

Ответ: прямая, проходящая через середины AP и BP, параллельна плоскости α.