Задание 3*. Прямая a и параллельная ей плоскость α не проходят через точку M. Докажите, что через точку M проходит прямая, параллельная прямой a и плоскости α, и притом только одна.

Существование. Проведём через M прямую b, параллельную a. Через две параллельные прямые a и b проходит единственная плоскость β. Поскольку a ∥ α, прямая a не пересекает α; кроме того, a не лежит в α. Поэтому β не совпадает с α. Пересечение β и α — прямая c. В плоскости β прямые a и c параллельны, так как обе параллельны α и не пересекают её. Следовательно, c ∥ a. Прямая b тоже параллельна a, поэтому b ∥ c; значит, b параллельна плоскости α.

Единственность. Пусть через M проходит другая прямая b′, параллельная a и плоскости α. Прямые b и b′ обе проходят через M и параллельны a, поэтому совпадают: через заданную точку проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.

Ответ: через M проходит ровно одна прямая, параллельная a и плоскости α.