Задание № 2. Тридцать три богатыря, бегущие по дороге с одинаковыми скоростями, один за другим прыгают в тележку. Вначале тележка была неподвижна, после прыжка первого богатыря она приобрела скорость v₁ = 1 м/с, после прыжка второго — скорость v₂ = 1,67 м/с. Какой станет скорость тележки v₃₃, когда в ней окажутся все богатыри? Трение тележки о дорогу не учитывайте, массы всех богатырей считайте одинаковыми.

Обозначим массу тележки через \(M\), массу одного богатыря через \(m\), а их общую скорость бега — через \(u\). При каждом прыжке сохраняется горизонтальный импульс.

1. После прыжка первого богатыря: \(mu=(M+m)v_1\). Так как \(v_1=1\) м/с, получаем \(u=(M/m+1)\cdot1\).
2. После прыжка второго: \((M+m)v_1+mu=(M+2m)v_2\). Используя равенство \(mu=(M+m)v_1\), имеем \(v_2=2(M+m)v_1/(M+2m)\).
3. Положим \(x=M/m\). Тогда \(1.67=2(x+1)/(x+2)\), откуда \(1.67x+3.34=2x+2\), поэтому \(x=134/33\approx4.061\).
4. Из условия для первого прыжка скорость богатырей \(u=(x+1)v_1=167/33\) м/с.
5. После прыжка всех 33 богатырей импульс равен \(33mu\), а общая масса — \(M+33m\). Поэтому \(v_{33}=33u/(x+33)=5511/1223\approx4.51\) м/с.

Здесь значение 1,67 м/с использовано именно как данное числовое значение. Если оно округлено от \(5/3\) м/с, то получится \(M=4m\), \(u=5\) м/с и \(v_{33}=165/37\approx4.46\) м/с.

Ответ: около 4,51 м/с при использовании указанного значения 1,67 м/с.