Задание 2. В остроугольном треугольнике ABC на сторонах AB и BC отметили точки K и M соответственно так, что BM = MC и ∠MKA = ∠CAB. Известно, что AC = 16. Чему равна длина отрезка KM?

Так как M — середина BC, а K лежит на AB, из условия ∠MKA = ∠CAB следует, что KM ∥ AC: луч KA лежит на прямой AB, и равные углы задают соответствующие параллельные прямые.

По теореме о средней линии треугольника ABC отрезок, соединяющий середины AB и BC, параллелен AC и равен половине AC. Здесь параллельность KM ∥ AC и положение M на BC дают, что K — середина AB; следовательно, KM — средняя линия.

Вычислим длину: \(KM=\frac{AC}{2}=\frac{16}{2}=8\).

Ответ: 8.