Задание 3. В треугольнике ABC построили биссектрисы внешних углов A и C. Из точки B опустили перпендикуляры BP и BQ на эти биссектрисы. Найдите длину отрезка PQ, если известно, что периметр треугольника ABC равен 11.

Обозначим длины сторон: \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\). Расположим \(A=(0,0)\), \(C=(b,0)\), \(B=(u,v)\). Проекции точки B на внешние биссектрисы углов A и C обозначим P и Q. Из формулы проекции на прямую, направленную вдоль внешней биссектрисы, после упрощения получаем \(PQ=\frac{a+b+c}{2}\). Таким образом, расстояние между основаниями перпендикуляров равно половине периметра треугольника.

Подставим заданный периметр: \(PQ=\frac{11}{2}=5.5\).

Ответ: 5,5.