Задание 2. В треугольнике АВС проведены медиана AD, биссектриса ВЕ и высота СК. Укажите номера верных утверждений:

Решение:

Рассмотрим свойства медианы, биссектрисы и высоты в треугольнике.

• 1. AE = CE; Медиана AD делит сторону BC пополам (BD=DC). Биссектриса BE делит угол ABC. Высота СК перпендикулярна стороне AB (∠CKA=90°). Утверждение AE = CE не следует из определений медианы, биссектрисы и высоты.
• 2. BD = CD; AD — медиана, она делит противоположную сторону BC пополам. Следовательно, BD = CD. Это верное утверждение.
• 3. ∠BAD = ∠CAD; AD — это медиана. Утверждение ∠BAD = ∠CAD означает, что AD является биссектрисой. Медиана не всегда является биссектрисой (кроме равнобедренного треугольника).
• 4. ∠ABE = ∠CBE; BE — биссектриса угла ABC, она делит этот угол пополам. Следовательно, ∠ABE = ∠CBE. Это верное утверждение.
• 5. ∠CKB = 90°; СК — высота, проведенная к стороне AB. По определению, высота перпендикулярна стороне, к которой она проведена. Следовательно, ∠CKB = 90°. Это верное утверждение.
• 6. ∠BEC = 90°. BE — биссектриса. Утверждение ∠BEC = 90° означает, что BE является высотой. Биссектриса не всегда является высотой (кроме равнобедренного треугольника).

Ответ: 2, 4, 5.