Задание 2. Вычислите: a) \( \frac{(2^3)^{10} (2^2)^2}{2^{31}} \); б) \( \frac{7^{14} 49}{343 (7^5)^2} \).

Решение:

1. а) Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m
   } \) и \( a^m
   
   a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \[ \frac{(2^3)^{10}
   
   (2^2)^2}{2^{31}} = \frac{2^{3
   
   10}
   
   2^{2
   
   2}}{2^{31}} = \frac{2^{30}
   
   2^4}{2^{31}} = \frac{2^{30+4}}{2^{31}} = \frac{2^{34}}{2^{31}} = 2^{34-31} = 2^3 = 8 \].
2. б) Представим числа 49 и 343 в виде степени числа 7: \( 49 = 7^2 \), \( 343 = 7^3 \). Используем свойства степеней \( (a^m)^n = a^{m
   } \) и \( a^m
   
   a^n = a^{m+n} \) и \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):
   \[ \frac{7^{14}
   
   49}{343
   
   (7^5)^2} = \frac{7^{14}
   
   7^2}{7^3
   
   (7^5)^2} = \frac{7^{14+2}}{7^3
   
   7^{5
   
   2}} = \frac{7^{16}}{7^3
   
   7^{10}} = \frac{7^{16}}{7^{3+10}} = \frac{7^{16}}{7^{13}} = 7^{16-13} = 7^3 = 343 \].

Ответ: а) 8; б) 343.