Задание 22. 1) Найдите tga, если sina = 3/√13, 0° < α < 90°; 2) Найдите tga, если cosa = 5/√26, 270° < α < 360°.

Решение:

1) Найдите tga, если sina = 3/√13, 0° < α < 90°:

1. Найдем \( \cos \alpha \) из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. \( \left( \frac{3}{\sqrt{13}} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
3. \( \frac{9}{13} + \cos^2 \alpha = 1 \)
4. \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{13} = \frac{4}{13} \)
5. \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{13}} = \pm \frac{2}{\sqrt{13}} \).
6. Так как \( 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} \) (первая четверть), то \( \cos \alpha > 0 \). Следовательно, \( \cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} \).
7. Найдем \( \text{tg} \alpha \) по формуле \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
8. \( \text{tg} \alpha = \frac{3/\sqrt{13}}{2/\sqrt{13}} = \frac{3}{2} \).

2) Найдите tga, если cosa = 5/√26, 270° < α < 360°:

1. Найдем \( \sin \alpha \) из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. \( \sin^2 \alpha + \left( \frac{5}{\sqrt{26}} \right)^2 = 1 \)
3. \( \sin^2 \alpha + \frac{25}{26} = 1 \)
4. \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{26} = \frac{1}{26} \)
5. \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{1}{26}} = \pm \frac{1}{\sqrt{26}} \).
6. Так как \( 270^{\circ} < \alpha < 360^{\circ} \) (четвертая четверть), то \( \sin \alpha < 0 \). Следовательно, \( \sin \alpha = -\frac{1}{\sqrt{26}} \).
7. Найдем \( \text{tg} \alpha \) по формуле \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
8. \( \text{tg} \alpha = \frac{-1/\sqrt{26}}{5/\sqrt{26}} = -\frac{1}{5} \).

Ответ: 1) \( \text{tg} \alpha = \frac{3}{2} \); 2) \( \text{tg} \alpha = -\frac{1}{5} \).