Задание 22. Постройте график функции: y = { 4x - 5, x < 1, -2.5x + 5, 1 ≤ x ≤ 4, x - 9, x > 4. и ответьте, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Построим график кусочно-заданной функции \( y \).

1. Для \( x < 1 \): \( y = 4x - 5 \).

• Это линейная функция. При \( x = 1 \) (не включая), \( y = 4(1) - 5 = -1 \). Точка (1, -1) — начало луча (пустая).
• Возьмём \( x = 0 \), тогда \( y = 4(0) - 5 = -5 \). Точка (0, -5).

2. Для \( 1 \le x \le 4 \): \( y = -2.5x + 5 \).

• Это линейная функция.
• При \( x = 1 \), \( y = -2.5(1) + 5 = 2.5 \). Точка (1, 2.5) — начало отрезка (закрашена).
• При \( x = 4 \), \( y = -2.5(4) + 5 = -10 + 5 = -5 \). Точка (4, -5) — конец отрезка (закрашена).

3. Для \( x > 4 \): \( y = x - 9 \).

• Это линейная функция.
• При \( x = 4 \) (не включая), \( y = 4 - 9 = -5 \). Точка (4, -5) — начало луча (пустая).
• Возьмём \( x = 5 \), тогда \( y = 5 - 9 = -4 \). Точка (5, -4).

Теперь определим, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

Прямая \( y = m \) — это горизонтальная прямая.

Рассмотрим значения \( y \) в ключевых точках:

• При \( x=1 \), первая часть функции даёт \( y \) стремящийся к -1 (справа от 1, \( y \) больше -1).
• В точке \( x=1 \), вторая часть функции даёт \( y=2.5 \).
• В точке \( x=4 \), вторая часть функции даёт \( y=-5 \).
• При \( x=4 \), третья часть функции даёт \( y \) стремящийся к -5 (справа от 4, \( y \) больше -5).

График состоит из трёх частей:

• Луч, идущий вниз при \( x < 1 \), проходящий через (0, -5).
• Отрезок от (1, 2.5) до (4, -5).
• Луч, идущий вверх при \( x > 4 \), начинающийся от (4, -5).

Проведём горизонтальные прямые \( y = m \):

• Если \( m > 2.5 \), прямая не пересекает график.
• Если \( m = 2.5 \), прямая пересекает график в одной точке (1, 2.5).
• Если \( -1 < m < 2.5 \), прямая пересекает график в двух точках (одну на первой части, одну на второй).
• Если \( m = -1 \), прямая пересекает график в одной точке (на первой части, так как \( x=1 \) не входит во вторую часть).
• Если \( -5 < m < -1 \), прямая пересекает график в двух точках (одну на первой части, одну на второй).
• Если \( m = -5 \), прямая пересекает график в двух точках (на второй части в точке (4, -5) и на третьей части, начинающейся от (4, -5)).
• Если \( m < -5 \), прямая пересекает график в одной точке (на третьей части).

Условие «ровно две общие точки» выполняется, когда \( m \) находится в интервалах \( (-1; 2.5) \) и \( (-5; -1) \), а также при \( m = -5 \).

Таким образом, \( m \) может принимать значения от -5 до 2.5, исключая -1 и 2.5, а также включая -5.

Объединяем интервалы: \( [-5; -1) \cup (-1; 2.5) \). С учётом того, что при \( m = -5 \) будет две точки пересечения (на второй и третьей частях графика, так как точка (4, -5) является концом отрезка и началом луча), значение \( m = -5 \) включается.

\( m = -5 \) — точка (4, -5) — вторая часть графика заканчивается, третья начинается. Одна точка.

Рассмотрим ещё раз пересечения:

• \( m > 2.5 \): 0 точек
• \( m = 2.5 \): 1 точка (1, 2.5)
• \( -1 < m < 2.5 \): 2 точки
• \( m = -1 \): 1 точка (левая часть графика)
• \( -5 < m < -1 \): 2 точки
• \( m = -5 \): 2 точки (точка (4,-5) для второй части, и для третьей части y=x-9, если x=4, y=-5)
• \( m < -5 \): 1 точка

Итак, ровно две общие точки при \( m \) из интервалов \( (-1; 2.5) \) и \( (-5; -1) \) и при \( m = -5 \).

Объединяя, получаем \( m \) от -5 до 2.5, исключая -1.

Ответ: \( m \in [-5; -1) \cup (-1; 2.5) \).