Задание 20. Решите неравенство: (x - 1)² < √2(x - 1).

Краткое пояснение:

Решим неравенство, перенеся все члены в одну сторону и разложив на множители. Важно учесть область допустимых значений.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Перенесем все члены неравенства в левую часть: $$(x - 1)^2 - \sqrt{2}(x - 1) < 0$$.
2. Шаг 2: Вынесем общий множитель $$(x - 1)$$ за скобки: $$(x - 1)((x - 1) - \sqrt{2}) < 0$$.
3. Шаг 3: Упростим выражение в скобках: $$(x - 1)(x - 1 - \sqrt{2}) < 0$$.
4. Шаг 4: Найдем корни уравнения $$(x - 1)(x - 1 - \sqrt{2}) = 0$$. Корни: $$x_1 = 1$$ и $$x_2 = 1 + \sqrt{2}$$.
5. Шаг 5: Определим интервалы, на которых неравенство выполняется. Это парабола ветвями вверх. Неравенство < 0 выполняется между корнями.
6. Шаг 6: Запишем ответ в виде интервала: $$1 < x < 1 + \sqrt{2}$$.

Ответ: $$1 < x < 1 + \sqrt{2}$$