Задание 20. Решите неравенство: (x - 1)² < √2(x-1).

Решение:

Решим неравенство \( (x - 1)^2 < \sqrt{2}(x - 1) \).

1. Перенесём все члены неравенства в левую часть: \( (x - 1)^2 - \sqrt{2}(x - 1) < 0 \).
2. Вынесем общий множитель \( (x - 1) \) за скобки: \( (x - 1) \left( (x - 1) - \sqrt{2} \right) < 0 \).
3. Раскроем скобки: \( (x - 1)(x - 1 - \sqrt{2}) < 0 \).
4. Найдём корни уравнения \( (x - 1)(x - 1 - \sqrt{2}) = 0 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = 1 + \sqrt{2} \).
5. Нанесём корни на числовую ось и определим знаки интервалов. Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (при раскрытии скобок \( x^2 \) будет с плюсом), ветви параболы направлены вверх. Неравенство строгое, поэтому точки \( x = 1 \) и \( x = 1 + \sqrt{2} \) не включаются в решение.
6. Интервалы: \( (-\infty; 1) \), \( (1; 1 + \sqrt{2}) \), \( (1 + \sqrt{2}; +\infty) \).
7. Знаки: +, -, +.
8. Нам нужен интервал, где выражение меньше нуля, то есть \( - \).

Ответ: \( x \in (1; 1 + \sqrt{2}) \).