Задание 23. Прямая пересекает стороны AB и BC треугольника ABC в точках E и F соответственно. Известно, что AB = 10, BC = 14, AC = 15, AE = 3, CF = 9. Найдите длину отрезка EF.

Так как E лежит на AB, а F — на BC, получаем:

BE = AB − AE = 10 − 3 = 7.

BF = BC − CF = 14 − 9 = 5.

В треугольнике BEF угол EBF совпадает с углом ABC. По теореме косинусов для треугольника ABC:

cos ∠ABC = (AB² + BC² − AC²) / (2 · AB · BC) = (100 + 196 − 225) / 280 = 71 / 280.

Применим теорему косинусов к треугольнику BEF:

EF² = BE² + BF² − 2 · BE · BF · cos ∠ABC = 49 + 25 − 70 · 71 / 280 = 56.25.

Поскольку длина положительна, EF = 7.5.

Ответ: 7,5.