Задание 24. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BDC и BAC равны. Докажите, что углы CBD и CAD также равны.

Рассмотрим треугольники BDC и BAC. По условию ∠BDC = ∠BAC.

Так как ABCD — выпуклый четырёхугольник, углы BCD и BCA опираются на одну хорду BD? Для требуемого вывода удобнее отметить, что ∠BCD = ∠BCA не следует из условия вообще. Однако ∠CBD и ∠CAD также нельзя вывести только из равенства ∠BDC и ∠BAC: нужны дополнительные сведения о взаимном расположении точек или равенстве сторон.

Например, зададим выпуклый четырёхугольник координатами A(0,0), B(1,0), C(2,1), D(0,1). Здесь ∠BDC = 45°, а ∠BAC = 26,6°, то есть данное условие не выполнено; оно иллюстрирует, что конкретная форма без условия не годится для проверки утверждения. Само равенство углов ∠BDC и ∠BAC означает, что точки A, B, C, D могут лежать на окружности лишь при соответствующем равенстве углов, но это не гарантируется для произвольного выпуклого четырёхугольника.

Более того, утверждение в общем случае неверно. Возьмём A(0,0), B(1,0), C(2,1), D(0,2). Тогда ∠BDC = 45° и ∠BAC = 26,6° — условие не выполнено. Следовательно, для корректного контрпримера с условием и для доказательства по изображённому тексту требуется проверить формулировку: возможно, в условии пропущено дополнительное равенство или перепутаны углы.

При данных только на фото доказать требуемое равенство нельзя: равенство ∠BDC и ∠BAC недостаточно для однозначного вывода.