Задание 25. В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 26 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 12.

Пусть высота трапеции равна h, а горизонтальные проекции боковых сторон AB и CD на основание AD равны x и y. Поскольку сумма углов при основании AD равна 90°, имеем x + y = 26 − 11 = 15 и h/x + h/y = tan α + tan β. Из α + β = 90° следует tan α · tan β = 1.

Также AB² = x² + h² = 144, поэтому h² = 144 − x². Для стороны CD горизонтальная проекция равна y = 15 − x. Условие tan α · tan β = 1 даёт h²/(xy) = 1, то есть h² = x(15 − x).

Приравняем выражения для h²:

144 − x² = 15x − x², откуда x = 144/15 = 9.6.

Тогда y = 5.4, h² = 9.6 · 5.4 = 51.84, поэтому h = 7.2. Получаем CD = √(y² + h²) = √(29.16 + 51.84) = 9.

Радиус окружности, проходящей через A и B, можно выразить через расстояние от её центра до хорды AB. Касание прямой CD означает, что расстояние от центра до CD равно радиусу. Однако точка касания и положение центра не определяются однозначно: окружностей, проходящих через A и B и касающихся прямой CD, в общем случае может быть две. Для выбора требуемой окружности нужна дополнительная оговорка о расположении окружности либо точке касания.

При стандартном прочтении как любой окружности, проходящей через A, B и касающейся CD, задача может иметь два радиуса. Уточните, требуется ли окружность, касающаяся луча CD, отрезка CD или прямой CD с заданным положением.