Задание 25. Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстоянии соответственно 9 и 35 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠BAC = √35/6.

Пусть A — начало координат, луч AB направлен вдоль положительной оси x. Обозначим через h абсциссу центра окружности, а через r — её радиус. Поскольку окружность касается луча AB, центр имеет координаты (h, r), а точка касания лежит на луче, значит h ≥ 0.

Из \(\cos\angle BAC=\frac{\sqrt{35}}6\) получаем \(\sin\angle BAC=\frac16\). Точка на AC на расстоянии t от A имеет координаты \((t\cos\angle BAC,\ t\sin\angle BAC)\).

Условие прохождения через такую точку окружности с центром (h, r), касающейся оси x, после раскрытия скобок даёт \(t^2-2t(h\cos\angle BAC+r\sin\angle BAC)+h^2=0\). Корнями этого уравнения являются расстояния до точек M и N: 9 и 35.

По произведению корней \(h^2=9\cdot35=315\). Так как h ≥ 0, \(h=3\sqrt{35}\). По сумме корней \(2(h\cos\angle BAC+r\sin\angle BAC)=9+35\), откуда \(h\cos\angle BAC+r\sin\angle BAC=22\).

Подставим значения: \(3\sqrt{35}\cdot\frac{\sqrt{35}}6+\frac r6=22\). Тогда \(\frac{35}{2}+\frac r6=22\), следовательно, \(r=27\).

Ответ: 27.