Задание 28. Мода ряда, состоящего из семи чисел, равна 12. Медиана этого ряда равна 10. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического этого ряда. Подсказка: подберите числа так, чтобы мода была 12, медиана 10, а сумма всех чисел была максимальной.

Наибольшее возможное значение среднего арифметического определить нельзя: оно не ограничено сверху. Например, для любого числа A > 12 можно взять ряд 0, 0, 0, 10, 12, 12, A. Его медиана равна 10, а мода — 0, а не 12, поэтому этот пример не подходит. Подходящий ряд: 0, 0, 10, 10, 12, 12, A при A > 12 не имеет единственной моды: 0, 10 и 12 встречаются по два раза. Чтобы мода была именно 12, возьмём 0, 10, 10, 12, 12, 12, A при A > 12: медиана равна 12, а не 10. Следовательно, ограничение медианы 10 означает, что четвёртый элемент упорядоченного ряда равен 10; при семи числах для моды 12 достаточно двух двенадцаток, но три числа после четвёртого могут включать неограниченно большое A. Например, 0, 0, 10, 10, 12, 12, A не обеспечивает единственную моду 12. Чтобы 12 была единственной модой, можно использовать ряд 0, 10, 10, 10, 12, 12, A, где A > 12: мода тогда 10. Итак, при требовании, что мода равна 12, минимум два значения ряда должны быть 12; остальные числа могут быть выбраны так, чтобы медиана была 10 и 12 встречалось чаще каждого другого значения? В семиэлементном ряду медиана 10 требует четвёртый элемент 10, поэтому три элемента не больше 10. Тогда мода 12 может встретиться максимум три раза, а оставшиеся элементы выше медианы могут быть 12, 12, 12, и сумма остаётся неограниченной, если вместо одного из этих значений поставить произвольно большое число, но мода 12 сохраняется при двух значениях 12? Ряд 0, 0, 10, 10, 12, 12, A имеет равные частоты 0, 10 и 12, так что 12 не единственная мода. Если «мода» допускает несколько мод, можно взять этот ряд и сумму не ограничить. Если требуется единственная мода 12, ряд 0, 0, 10, 10, 12, 12, 12 задаёт конечную максимальную сумму только при ограничении A, которого в условии нет, поскольку A можно добавить лишь восьмым числом. При семи числах все позиции уже заняты, и 12 должна стоять как минимум в пятой позиции; максимум — 12. Поэтому верхние значения ограничены 12.

В упорядоченном ряду из семи чисел четвёртое число равно 10. Чтобы 12 была единственной модой, она должна встречаться не менее трёх раз. Тогда три последних числа могут быть 12, 12, 12. Первые четыре числа не больше 10; для максимальной суммы и сохранения единственной моды 12 выбираем 10, 10, 10, 10. Ряд: 10, 10, 10, 10, 12, 12, 12. Его среднее равно (40 + 36) / 7 = 76 / 7.

Ответ: 76/7 (среднее арифметическое).