Задание 3 (30 баллов). Середины рёбер KL, NM, SR, RP куба KLMNPRST последовательно соединили так, что образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник плоский и является параллелограммом.

При стандартном обозначении куба KLMNPRST (соответствующие вершины граней: K↔P, L↔R, M↔S, N↔T) утверждение с ребром SR неверно. Покажем это координатами.

Пусть K(0;0;0), L(1;0;0), M(1;1;0), N(0;1;0), P(0;0;1), R(1;0;1), S(1;1;1), T(0;1;1). Обозначим через A, B, C, D последовательно середины KL, NM, SR, RP. Тогда A(1/2;0;0), B(1/2;1;0), C(1;1/2;1), D(1/2;0;1).

Плоскость через A, B и C имеет уравнение \(x-\frac{z}{2}=\frac{1}{2}\). Точка D ему не удовлетворяет: для D левая часть равна 0. Значит, четыре точки не лежат в одной плоскости и образованный ими четырёхугольник не плоский. Поэтому доказать заявленное для рёбер KL, NM, SR, RP нельзя: вероятно, в условии опечатка.

Если вместо SR должно быть ST, утверждение верно: середины KL, NM, ST и RP в указанных координатах равны соответственно (1/2;0;0), (1/2;1;0), (1/2;1;1), (1/2;0;1). Все четыре точки лежат в плоскости \(x=\frac{1}{2}\); противоположные стороны параллельны, поэтому четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ: в напечатанном условии утверждение неверно; проверьте, не должно ли вместо ребра SR быть указано ST.