Задание 3 (30 баллов). Середины рёбер KN, NM, SR, RP куба KLMNRPST последовательно соединили так, что образовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхугольник плоский и является параллелограммом.

Обозначим через A, B, C, D середины рёбер KN, NM, SR, RP соответственно. Рассмотрим координатную модель куба с длиной ребра a: K(0,0,0), L(a,0,0), M(a,a,0), N(0,a,0), P(0,0,a), R(a,0,a), S(a,a,a), T(0,a,a).

Тогда A(0,a/2,0), B(a/2,a,0), C(a,a/2,a), D(a/2,0,a). Векторы противоположных сторон:

AB = (a/2,a/2,0), DC = (a/2,a/2,0); AD = (a/2,−a/2,a), BC = (a/2,−a/2,a).

Значит, AB ∥ DC и AD ∥ BC. Кроме того, две пересекающиеся прямые AB и AD задают плоскость, а точка C = A + AB + AD принадлежит этой плоскости. Следовательно, все четыре вершины компланарны. Четырёхугольник ABCD плоский и, поскольку у него обе пары противоположных сторон параллельны, является параллелограммом.